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Sistema de Fuciones Implicitas

Son varias funciones que estas propuesta de manera Implicitamente por un Sistema de ecuaciones

U= U (X,Y) , U= V (X,Y) , W= W(X,Y)

F1 (X, Y, U, V, W) = 0
F2 (X, Y, U, V, W) = 0
F3 (X, Y, U, V, W) = 0

Se verifica identicamente en X, Y

F; [X, Y, U (X, Y) , V (X, Y) , W(X, Y)] = 0

Si en un punto (x0, y0, u0, v0, w0) se verifican las tres en las ecuaciones anteriores cuyos primeros miembros sean sean diferenciales, y suponemos que existan en el entorno de (x0, y0) funciones diferenciales, entonces las funciones compuestas, seran diferenciables en (x0, y0), con diferenciables totales nulas en los los incrementos independientes:

Dibujo 7

Asi, sin necesiddad de conocer la expresion explicita de las funciones incognitas, obtendremos las difenrencias totales de estas resolviendo el sistema de ecuaciones lineales en ellas, por la regla de Crames, siempre que el determinenante del sistema sea

Dibujo 8

todo determinante de este tipo, formado con las n derivadas parciales de cada una de las n funciones respecto de las n variables, se llama determinante funcional o jacoviabiano de las funciones respecto de las funciones de las n variables y se suelen representar por la misma notacion de derivadas parciales, como se ha hecho en el segundo mienbro del dibujo 8 empleandose tambien la letra Den el lugar de la .

las soluciones del sistema del dibujo 7 en las diferenciales totales incognitas du, dv, dw dadas por la regla de Cramer son funciones lineales homogeneas en dx, dy cuyos coeficientes incognitas daran las derivadas parciales de las funciones incognitas del dibujo 3, sin necesidad de conocer sus expreciones explicitas, pues solo intervendran en ellos las derivadas parciales de las funciones dadasdel dibujo 3. Ejemplo

dando

El metodo de diferenciar totalmente en el dibujo 4 es util si se desean hallar todas las derivadas parciales, o no se especifican previamente las variables que hayan de tomarse como dependientes, lo que sera las preferibles efectuar en el mismo sistema del dibujo 7 para considerar las que originen un jacobiano no nulo.
pero si por ejemplo se supone existente () x y solo interesa obtener esta, bastara derivar parcialmente en (x0, y0) respecto de y el dibujo 5 consideranola funciones compuestas de x e y, mediante el dibujo 4 dando:

Dibujo 11

dedonde puede despejarse ( ) por la regla de Cramer, en un sistema lineal cuyo determinante es tambien jacobiano J.

Inversion y cambio de variable.
El estudio de las funciones implicitas nos permite el de los sistemas de funciones. Caso importante es aquel en donde el numero de funciones es el mismo que el de variables independientes. como en el caso de transformaciones lineales un conjunto de la forma.

dibujo 12

recibe tambien el nombre de el nombre de transformacion, pues puede interpretarse que tranforma el punto de coordenadas (x, y, z) en otro de cordenadas de (u, v, w) llamado imagen suya.

si se interpretan en el dibujo 12. como ecuaciones en las incognitas x, y, z y pueden resolverse en ellas, tendremos tres funciones de u, v, w que constituyen la llamada transformacion inversa de la imagen 12. Esta inversa daria el punto, o puntos, (x, y, z) de donde uno dado (x, y, z) podria proceder en la transformacion original o directa; de estos (x, y, z) se llaman pre-imagen o modelos del (u, v, w).

si las funciones del dibujo 12 son diferenciables, con jacobiano

Discriminacion de variables dependientes e independientes.
Al plantear las ecuaciones las ecuaciones de un problema en que intervienen varias variables, deben determinarse cuidadosamente las variables tomadas como independiente, al obtenerse derivadas parciales de las variables que se toman como dependientes. La expresion de estas derivadas parciales, mediante las ecuaciones dadas, sera una u otra segun cuales sean las variables que tomadas como independientes se mantienen constantes. Es interesante aclarar bien esta cuestion de gran importancia práctica y en realidad sencilla, pues es fuente de confusion para el tecnico que tenga poco desarrollo su su sentido critico